EXPRESIONES FRACCIONARIAS

Se llama expresión algebraica fraccionaria o simplemente fracción algebraica, al cociente indicado de dos expresiones algebraicas enteras dadas en un cierto orden. También: Se denomina fracción algebraica a toda aquella expresión que tiene por lo menos una letra en el denominador. Ejemplo:

$\frac{x^{2}+6x+12}{6x+6}$

SIMPLIFICACIÓN

Para simplificar expresiones fraccionarias, se hace uso de la factorización,debido a que estas pueden encontrase en el numerador, denominador o ambas.ejemplo:

En este caso en el numerador se encuentra una diferencia de cuadrados y en el denominador se utilizara factor común, quedando de la siguiente forma:

Teniendo de esta forma la expresión podemos simplificar (x+3) de numerador con (x+3) de denominador, quedando como respuesta:

Multiplicación

Para multiplicar expresiones fraccionarias, se multiplica de la misma forma como las fracciones, lo cual es multiplicar numerador con numerador y denominador con denominador. Ejemplo:

$\frac{x^{2}-2x-15}{x^{2}-9}* \frac{x^{2}-6x+9}{12-4x}$

En este caso se hará uso del trinomio, diferencia de cuadrados y factor común.Al usar estos caso de factoreo la multiplicación queda así:

$\frac{(x-5)(x+3)(x-3)(x-3)}{(x-3)(x+3)-4(x-3)}$

Teniendo de esta forma la multiplicación, podemos simplificar, quedando la multiplicación así:

$\frac{x-5}{4}$

División

Para dividir expresiones fraccionarias se hace igual que dividir fracciones normales se invierten el numerador y el denominador en un termino y se multiplica de forma lineal. Ejemplo:

$\frac{x^{2}-1}{x^{2}+2x-3}/\frac{x-4}{x+3}$

Para realizar esta división se invierte el numerador con su denominador, y se multiplicara de forma lineal, en este caso utilizaremos el termino del lado derecho y aplicaremos la factorización para los casos en donde se encuentre, quedando de esta forma:

$\tfrac{(x-1)(x+1)}{(x+3)(x-1)}*\frac{(x+3)}{(x-4)}$

Teniendo la división así, se busca que podemos simplificar, en este caso podemos simplificar (x-1) y (x+3), dando como respuesta :

$\frac{x+1}{x-4}$

SUMA Y RESTA

Para sumar o restar expresiones fraccionarias, procedemos a obtener el máximo común divisor de los términos, y luego se ejecuta como fraccionaria normal, tomando ese MCD (esto queda como denominador en el proceso), dividiendo esto con el denominador y luego multiplicando con el numerador de un termino, así sucesivamente hasta el ultimo termino (quedando este resultado como numerador) , luego obtenido eso, se suma o se resta, según sea el caso, y si es posible se simplifica.

Dependiendo de los denominadores esto el MCD podrá ser un termino o el producto de varios términos:

Si los denominadores son los mismos variables,los mismos coeficientes y poseen el mismo signo se toma el de mayor exponente. Ejemplo:

$\frac{3}{x+1}+\frac{5}{x+1}$

Al tener los mismo denominadores, su MCD es: x+1

Si los denominadores son diferentes se tomarán todos los términos. Ejemplo:

$\frac{5}{x+1}+\frac{12}{x-1}+\frac{26}{x+5}$

Al tener diferentes denominadores, su MCD es: (x+1)(x-1)(x+5)

Ejemplo de suma y resta de expresiones fraccionarias:

$\frac{x+1}{x^{3}}-\frac{x+2}{x^{2}}+\frac{x+3}{x}$

Su MCD es: x elevado al cubo. Este se divide con x elevado al cubo y se multiplica por x+1. Esto mismo se hará con los demás términos, quedando así:

$\frac{(x+1)-x(x+2)-x^{2}(x-3)}{x^{3}}$

Se multiplican:

$\frac{x+1-x^{2}+2x+x^{3}+3x^{2}}{x^{3}}$

Se suman términos semejantes:

$\frac{x^{3}+2x^{2}+3x+1}{x^{3}}$

Siendo esta la respuesta.

En el caso de la resta es lo mismo con la misma diferencia que en vez de sumarse se van a restarse. Ejemplo:

$\frac{2}{x+1}-\frac{3}{x^{2}+2x+1}$

En este caso el segundo termino es un trinomio, se factoriza primero y luego ese resulta es usado ara obtener el MCD, que en este caso es: (x+1)(x+1).

Ya obtenido el MCD se hace el mismo procedimiento anterior , quedando la resta de esta forma:

$\frac{2x+2-3}{(x+1)(x+1)}$

Se resta en el numerador los términos semejante, llegando así a la respuesta:

$\frac{2x-1}{(x+1)(x+1)}$

FRACCIONES COMPLEJAS

Para realizar realizar este tipo de fracciones, primero se realizan las operaciones en su numerador y denominador si tienen y se puede. Hay que recordar también que en estos casos también se puede hacer uso de factorización. Ejemplo

$\frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{3}}{\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{9}}$