RACIONALIZACIÓN

También se le conoce como racionalizar una fracción con raíces en el denominador, que consiste en operar para eliminar los radicales del denominador de una fracción.Para ello se multiplica el numerador y el denominador por otra expresión de forma que al operar, se elimine la raíz del denominador. Cabe destacar que la expresión a racionalizar puede tener la raíz con índice mayor que dos (por ejemplo, [[raíz cúbica]h]), cantidad subradical puede ser un monomio, binomio, etc, y que la expresión obtenida equivalente puede o no presentar raíces en el numerador.

Racionalización de Monomio

Para racionalizar un monomio de este tipo, se debe multiplicar el numerador y el denominador de la fracción por la raíz del denominador cuyo radicando se eleva a la diferencia entre el índice y el exponente.

Racionalización de binomio

Para racionalizar un binomio, se debe hacer un proceso similar al ejercicio anterior, multiplicar el numerador y denominador de la fracción por la expresión conjugada del denominador de la misma.

El caso general de un binomio con dos raíces cuadradas también es fácilmente resoluble:

${\frac {1}{a{\sqrt {p}}+b{\sqrt {q}}}}={\frac {1}{a{\sqrt {p}}+b{\sqrt {q}}}}\cdot {\frac {b{\sqrt {q}}-a{\sqrt {p}}}{b{\sqrt {q}}-a{\sqrt {p}}}}={\frac {b{\sqrt {q}}-a{\sqrt {p}}}{b^{2}q-a^{2}p}}$

Más complicada es la racionalización de un trinomio:}

${\frac {1}{a{\sqrt {p}}+b{\sqrt {q}}+c}}={\frac {(b{\sqrt {q}}+c-a{\sqrt {p}})(-b^{2}q-c^{2}+a^{2}p+2bc{\sqrt {q}})}{b^{4}q^{2}-2b^{2}c^{2}q-2b^{2}qa^{2}p+c^{4}-2c^{2}a^{2}p+a^{4}p^{2}}}$

Racionalización de monomios con índices mayores que dos

Tómese el siguiente caso, ya que tenemos numeradores y denominadores fraccionados y multiplicados por índices mayores o iguales a 3.

${\frac {2}{\sqrt[{5}]{8a^{3}b^{4}}}}$

Primero, todas las cantidades subradicales (si son números enteros elevados que no tienen exponente) se les debe obtener la raíz enésima.

${\frac {2}{\sqrt[{5}]{2^{3}a^{3}b^{4}}}}$

Ahora, la cantidad que deberá ser multiplicada al numerador y denominador de la fracción sigue un procedimiento diferente a las anteriores.

Racionalización de binomios con radical mayor a dos

Cuando se tiene la diferencia de dos radicales de índice 3, es preciso utilizar productos notables.

${\frac {1}{{\sqrt[{3}]{a}}-{\sqrt[{3}]{b}}}}$

Tomamos este producto notable.

$a-b=({\sqrt[{3}]{a}}-{\sqrt[{3}]{b}})$ $[{\sqrt[{3}]{a^{2}}}+{\sqrt[{3}]{ab}}+{\sqrt[{3}]{b^{2}}}]$

En el denominador ha quedado el producto notable. Lo cambiamos por su expresión simple y ya está.

${\frac {{\sqrt[{3}]{a^{2}}}+{\sqrt[{3}]{ab}}+{\sqrt[{3}]{b^{2}}}}{{a}-{b}}}$

Si se trata de la suma de dos radicales de índice 3:

${\frac {1}{{\sqrt[{3}]{a}}+{\sqrt[{3}]{b}}}}$

Hay que usar este otro producto notable.

$a+b=({\sqrt[{3}]{a}}+{\sqrt[{3}]{b}})$ $[{\sqrt[{3}]{a^{2}}}-{\sqrt[{3}]{ab}}+{\sqrt[{3}]{b^{2}}}]$

Se multiplica el numerador y el denominador de la fracción por el segundo factor.

${\frac {1}{{\sqrt[{3}]{a}}+{\sqrt[{3}]{b}}}}$ * ${\frac {{\sqrt[{3}]{a^{2}}}-{\sqrt[{3}]{ab}}+{\sqrt[{3}]{b^{2}}}}{{\sqrt[{3}]{a^{2}}}-{\sqrt[{3}]{ab}}+{\sqrt[{3}]{b^{2}}}}}$